Savoir-faires par chapitre §

Table des matières §

1. Suites numériques, récurrence
2. Compléments sur la dérivation
3. Limites de suites
4. Combinatoire et dénombrement
5. Loi binomiale
6. Limites de fonctions
7. Continuité
8. Vecteurs, droites et plans de l’espace
9. Orthogonalité et distances dans l’espace
10. Fonction logarithme
11. Primitives, équations différentielles
12. Représentations paramétriques et équations cartésiennes
13. Calcul intégral
14. Fonction cosinus et sinus
15. Sommes de variables aléatoires
16. Concentration, loi des grands nombres

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1. Suites numériques, récurrence §

1. Calculer les termes d'une suite (définie de façon explicite ou par récurrence)

2. Déterminer les variations d'une suite

$⟶$ par l’étude du signe de $u_{n+1}-u_n$ $⟶$ si tous les termes $u_n$ sont strictement positifs, par comparaison de $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1 $⟶$ par l’étude des variations de $f$ sur $[0;+\infty [$ pour les suites du type $u_n=f(n)$ $⟶$ par l’étude des variations de $f$ et une récurrence pour les suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$ $⟶$ cas où la suite est arithmétique $⟶$ cas où la suite est géométrique

3. Montrer qu'une suite est arithmétique

$⟶$ montrer que les termes $u_n$ vérifient une relation du type $u_{n+1}=u_n+r$ (ou $u_{n+1}-u_n=r$)

4. Montrer qu'une suite est géométrique

$⟶$ montrer que les termes $u_n$ vérifient une relation du type $u_{n+1}=q\times u_n$ (évitez de calculer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$, sauf si vous êtes capables de justifier que $u_n\ne 0$, pour tout $n\in \mathbb{N}$)

5. Représenter graphiquement les premiers termes d'une suite

Ce qui suit est rédigé pour une suite $(u_n)$.

$⟶$ cas où $u_n=f(n)$

$⟶$ cas où $u_{n+1}=f(u_n)$

6. Calculer la somme des termes consécutifs d'une suite

Ce qui suit est rédigé pour une suite $(u_n)$.

$⟶$ cas où la suite est arithmétique

$⟶$ cas où la suite est géométrique

7. Donner la forme explicite d'une suite arithmétique ou géométrique

8. Démontrer une propriété par récurrence

9. Écrire à l'aide de façon symbolique une somme de termes d'une suite

On utilise le symbole $\sum _{k=1}^n...$ pour indiquer qu’une variable dépendant de la variable $k$ est calculée (ou exprimée) pour toutes les valeurs de $k$ de 1 à $n$ et que l’on ajoute toutes les valeurs obtenues

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2. Compléments sur la dérivation §

1. Savoir calculer une expression de la dérivée d'une fonction donnée en utilisant les opérations usuelles

2. Savoir calculer une expression de la dérivée d'une fonction donnée en utilisant la composition

3. Savoir étudier les variations d'une fonction construite à partir des fonctions de référence

4. Savoir étudier la convexité d'une fonction à partir des variations de sa dérivée

5. Savoir étudier la convexité d'une fonction à partir de signe de sa dérivée seconde

6. Esquisser l'allure de la courbe représentative d'une fonction à partir de la donnée de tableaux de variation de la fonction, de sa dérivée et de sa dérivée seconde

7. Lire sur une représentation graphique d'une fonction les intervalles où elle est convexe, concave et les points d'inflexion de sa courbe

8. Lire sur une représentation graphique de la dérivée d'une fonction les intervalles où la fonction et convexe, concave et les points d'inflexion de sa courbe

9. Lire sur une représentation graphique de la dérivée seconde d'une fonction les intervalles où la fonction et convexe, concave et les points d'inflexion de sa courbe

10. Dans le cadre de la résolution de problème, étudier et utiliser la convexité de fonction

11. Connaître et savoir utiliser le lien entre la convexité d'une fonction et la position de sa courbe représentative par rapport à ses tangentes

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3. Limites de suites §

1. Montrer qu'une suite converge

$⟶$ cas d’une suite arithmétique

$⟶$ cas d’une suite géométrique

$⟶$ en utilisant les règles de calcul sur les limites

$⟶$ en utilisant le théorème des gendarmes

$⟶$ en utilisant le théorème de convergence monotone

2. Montrer qu'une suite diverge

$⟶$ par comparaison

$⟶$ en utilisant les règles de calcul sur les limites

3. Déterminer la limite d'une suite

$⟶$ cas d’une suite arithmétique

$⟶$ cas d’une suite géométrique

$⟶$ cas d’une suite du type $u_n=f(n)$ (savoir lever des indéterminations dans les cas où $f$ est une fonction polynôme, une fonction rationnelle, dans le cas où $f(n)$ contient une racine carrée)

$⟶$ en utilisant le théorème des gendarmes

$⟶$ en utilisant les théorèmes de comparaison

$⟶$ en utilisant les règles de calcul sur les limites

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4. Combinatoire et dénombrement §

1. Connaître et savoir utiliser la notion de réunion de deux ensembles

2. Connaître et savoir utiliser la notion d'intersection de deux ensembles

3. Connaître le vocabulaire de couple, $k$-uplet, produit cartésien

4. Savoir représenter une situation par un arbre des possibles pour dénombrer

5. Reconnaître le type d'objets à dénombrer (avec ou sans répétition, avec ou sans ordre)

6. Reconnaître une permutation, savoir dénombrer les permutations d'un ensemble

7. Connaître et savoir calculer avec des factorielles

8. Savoir dénombrer des k-uplets dans un ensemble fini

9. Savoir dénombrer des combinaisons dans un ensemble fini

10. Connaître et savoir utiliser les propriétés des coefficients binomiaux

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5. Loi binomiale §

1. Modéliser une situation par une succession d'épreuves indépendantes

2. Modéliser une situation par une succession de deux ou trois épreuves quelconques

3. Représenter un succession d'épreuves par un arbre

4. Calculer une probabilité en utilisant l'indépendance

5. Calculer une probabilité en utilisant des probabilités conditionnelles

6. Calculer une probabilité en utilisant la formule des probabilités totales

7. Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli

8. Modéliser une situation par une loi binomiale

9. Utiliser l'expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison, d'optimisation relatif à des probabilités de nombre de succès

• 10. Dans le cadre d’une résolution de problème modélisé par une variable binomiale X, calculer numériquement une probabilité du type P(X=k), P(X<k), P(k<X<k’), en s’aidant au besoin d’un algorithme

11. Chercher un intervalle I pour lequel la probabilité que X donne des résultats dans I est inférieure à une valeur donnée a, ou supérieure à 1-a

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6. Limites de fonctions §

1. Déterminer une limite (voir les cas d'indétermination, ainsi que les formules sur les limites)

2. Lever une indétermination dans un calcul de limite

3. Interpréter graphiquement une limite

4. Montrer qu'une droite d'équation y=k est asymptote à la courbe d'une fonction (simple calcul de limite en l'infini)

5. Montrer qu'une droite d'équation x=k est asymptote à la courbe d'une fonction (simple calcul de limite en un réel)

6. Savoir utiliser les limites indéterminées de la fonction exponentielle

7. Savoir obtenir une limite par comparaison

8. Savoir obtenir une limite par encadrement

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7. Continuité §

1. Montrer qu'une fonction est continue en un réel a

Si la fonction est notée $f$, elle doit vérifier les conditions :

$⟶$ $f$ est définie en $a$

$⟶$ $\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x<a\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x>a\end{array}}{\lim }f(x)=f(a)$

2. Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle (utilisation de la dérivabilité)

3. Montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution

4. Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k

5. Déterminer un encadrement (ou une valeur approchée) d'une solution d'une équation du type f(x)=k (par dichotomie, ou en utilisant un tableau de valeurs)

6. Étude de la convergence d'une suite du type u_{n+1}=f(u_n) où f est une fonction continue d'un intervalle dans lui-même.

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8. Vecteurs, droites et plans de l’espace §

1. Savoir représenter un vecteur de l'espace

2. Savoir représenter un vecteur de l'espace obtenu à l'aide d'opérations

3. Savoir représenter un vecteur de l'espace obtenu à l'aide de la relation de Chasles

4. Savoir représenter une combinaison linéaire de vecteurs

5. Savoir exploiter une figure pour exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs

6. Connaître les positions relatives de deux droites de l'espace

7. Connaître les positions relatives de deux plans de l'espace

8. Connaître les positions relatives d'une droite et d'un plan dans l'espace

9. Savoir utiliser le "théorème de toit"

10. Savoir montrer que trois points définissent bien un plan

11. Savoir montrer que deux vecteurs forment une base d'un plan

12. Savoir montrer que trois vecteurs forment une base de l'espace

13. Savoir lire sur une figure la décomposition d'un vecteur dans une base

14. Savoir montrer que deux droites sont parallèles

15. Savoir montrer que deux vecteurs sont colinéaires

16. Savoir montrer que trois points sont alignés

17. Savoir montrer que trois points sont coplanaires

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9. Orthogonalité et distances dans l’espace §

1. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité dans l'espace

2. Utiliser le produit scalaire pour pour calculer la mesure d'un angle dans l'espace

3. Utiliser le produit scalaire pour calculer une longueur dans l'espace

4. Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à une droite ou à un plan

5. Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs et mesures : longueur, angle, aire, volume

6. Étudier des problèmes de configuration dans l'espace : orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan ; lieux géométriques simples, par exemple plan médiateur de deux points.

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10. Fonction logarithme §

1. Savoir répondre aux mêmes questions que dans les chapitres 2, 6 et 7, mais avec une fonction utilisant ln (variations, limites, équation d'une tangente, positions relatives de deux courbes, nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k, détermination d'une valeur approchée d'une solution d'une équation du type f(x)=k, etc...)

2. Savoir utiliser les limites indéterminées de la fonction ln

$⟶$ $\text{limp}\frac{\ln (x)}{x^n};\text{limzp}{x}^n\ln (x);{\lim }_{x\to 1}\frac{\ln (x)}{x-1};\text{limz}\frac{\ln (1+x)}{x}$

3. Connaître et savoir utiliser les propriétés algébriques de ln

4. Résoudre des équations et inéquations comportant des ln (cela nécessite souvent d'utiliser les propriétés algébriques de ln ou de exp)

5. Savoir résoudre les inéquations du type 0.97^n<0,5

6. Connaître la définition et les propriétés de base du logarithme décimal

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11. Primitives, équations différentielles §

1. Déterminer une primitive en utilisant les primitives de fonctions de référence et les fonctions dérivée de la composée de deux autres fonctions

2. Déterminer LA primitive, F, d'une fonction continue f vérifiant une condition du type F(a)=b

3. Pour une équation différentielle y' = ay + b : déterminer une solution particulière constante ; utiliser cette solution pour déterminer toutes les solutions.

4. Une fois l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'=ay+b sur un intervalle connu, déterminer la solution f telle que f(a)=b

5. Pour une équation différentielle y' = ay + f : à partir de la donnée d'une solution particulière, déterminer toutes les solutions.

6. Une fois l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'=ay+f sur un intervalle connu, déterminer la solution g telle que g(a)=b

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12. Représentations paramétriques et équations cartésiennes §

1. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite. Reconnaître une droite donnée par une représentation paramétrique.

2. Déterminer l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal et un point.

3. Reconnaître un plan donné par une équation cartésienne et préciser un vecteur normal à ce plan

4. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan donné par une équation cartésienne, ou sur une droite donnée par un point et un vecteur directeur

5. Dans un cadre géométrique repéré, décider si trois vecteurs forment une base

6. Dans un cadre géométrique repéré, déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base

7. Dans un cadre géométrique repéré, étudier une configuration dans l'espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité, intersection et orthogonalité de droites ou de plans), etc.

8. Dans un cadre géométrique repéré, dans des cas simples, résoudre le système obtenu et interpréter géométriquement les solutions

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13. Calcul intégral §

1. Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne.

2. Déterminer une primitive (utilisez vos formules sur les primitives...sans en inventer d'autres...)

3. Calculer une intégrale connaissant une primitive

4. Connaître le lien entre aires et intégrales

5. Calculer une intégrale en utilisant les formules des aires des figures usuelles

6. Savoir utiliser la relation de Chasles et la linéarité de l'intégrale

7. Déterminer la valeur exacte (ou une valeur approchée) de l'aire comprise entre les courbes de deux fonctions

8. Déterminer une aire en unités d'aire, puis dans une autre unité

9. Savoir utiliser l'inégalité de la moyenne

10. Comparer deux intégrales (sur un même intervalle) en comparant les fonctions à intégrer

11. Encadrer une intégrale en encadrant la fonction à intégrer

12. Déterminer la valeur moyenne d'une fonction

13. Étudier une suite d'intégrales, vérifiant éventuellement une relation de récurrence

14. Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d'une autre discipline

15. Calculer une intégrale à l'aide de la formule d'intégration par parties

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14. Fonction cosinus et sinus §

1. Associer un point d'un cercle trigonométrique et un réel

2. Connaitre les définitions du cosinus et du sinus d'un réel

3. Connaître les valeurs remarquables du cours concernant les cosinus et sinus

4. Connaître les formules des cosinus et sinus des angles associés

5. Connaître les formules de duplication et leurs conséquences

6. Savoir résoudre des équations trigonométriques du type cos(x)=cos(a), sin(x)=sin(a) ou cos(x)=sin(a)

7. Savoir se ramener à une équation du type cos(x)=cos(a), sin(x)=sin(a) ou cos(x)=sin(a)

8. Savoir résoudre sur [-pi;pi] une équation du type cos(x)=a ou sin(x)=a

9. Savoir résoudre sur [-pi;pi] une inéquation du type cos(x)<=a ou sin(x)<=a

10. Savoir résoudre une équation du second degré utilisation cosinus ou sinus

11. Connaître et savoir utiliser les propriétés des fonctions cosinus et sinus (parité, périodicité)

12. Savoir utiliser la dérivabilité des fonctions cosinus et sinus (notamment celles en 0) pour déterminer des limites

13. Savoir déterminer l'ensemble de dérivabilité et savoir dériver des fonctions dont l'expression contient un cosinus et/ou un sinus

14. Dans le cadre de la résolution de problème, notamment géométrique, étudier une fonction simple définie à partir de fonctions trigonométriques, pour déterminer des variations, un optimum

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15. Sommes de variables aléatoires §

1. Représenter une variable comme somme de variables aléatoires plus simples

2. Calculer l’espérance d’une variable aléatoire, notamment en utilisant la propriété de linéarité

3. Calculer la variance d’une variable aléatoire, notamment en l’exprimant comme somme ou moyenne de variables aléatoires indépendantes

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16. Concentration, loi des grands nombres §

1. Appliquer l'inégalité de Markov pour obtenir une majoration d'un événement du type X<=a

2. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir une majoration d'un événement du type |X-E(X)|>= t

3. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour définir une taille d'échantillon, en fonction de la précision et du risque choisi

4. Savoir interpréter la loi des grands nombres

5. Savoir programmer en \python pour calculer la proportion des échantillons pour lesquels l'écart entre la moyenne et l'espérance est inférieur ou égal à une valeur donnée