Déterminer une expression de dérivée

$f(x)=7x^2-5x+3$

Comme fonction polynôme, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $f'(x)=7\times 2x-5\times 1$+0

$f'(x)=14x-5$

C'est une expression dont on sait étudier le signe.

$g(x)=(7x-2)\text{e}^x$

$g=uv$ avec $u(x)=7x-2$ et $v(x)=\e^x$ pour tout réel $x$.

Comme produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'=u'v+uv'$

Pour tout réel $x$, $u'(x)=7$ et $v'(x)=\e^x$, donc $g'(x)=7\e^x+(7x-2)\e^x$.

Pour obtenir une expression dont on sait étudier le signe, factorisons l'expression obtenue.

Pour tout réel $x$, $g'(x)=(7+7x-2)\e^x$

$g'(x)=(7x+5)\e^x$

C'est une expression dont ont sait étudier le signe à l'aide d'un tableau de signes.

$h(x)=\dfrac{7x-2}{7-x^2}$

$h=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=7x-2$ et $v(x)=7-x^2$.

$\star$ $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $u'(x)=7$ et $v'(x)=-2x$

$\star$ $v$ s'annule en $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$

$h$ est donc dérivable sur tout intervalle inclus dans $\mathcal{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{-\sqrt{7}, \sqrt{7}\right\}$ et $h'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Pour tout réel $x$ de $\mathcal{D}$, on a donc :

$h'(x)=\dfrac{7\left(7-x^2\right)-(7x-2)\times (-2x)}{\left(7-x^2\right)^2}$

$h'(x)=\dfrac{49-7x^2-14x^2-4x}{\left(7-x^2\right)^2}$

$h'(x)=\dfrac{-21x^2-4x+49}{\left(7-x^2\right)^2}$

C'est une expression dont ont sait étudier le signe à l'aide d'un tableau de signes.

$k(x)=\text{e}^{-x^2}$

$k=\e^u$ avec $u(x)=-x^2$

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $k$ est également dérivable sur $\mathbb{R}$ et $k'=u'\times \e^u$ avec $u'(x)=-2x$ pour tout réel $x$.

Ainsi, pour tout réel $x$, on a : $k'(x)=-2x\e^{-x^2}$

C'est une expression dont ont sait étudier le signe à l'aide d'un tableau de signes.

$\ell(x)=\left(x^2-9\right)\text{e}^{-x^2}$

$\ell=uv$ avec $u(x)=x^2-9$ et $v(x)=\e^{-x^2}$

$\star$ $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

$\star$ $v=\e^w$ (avec $w(x)=-x^2$) est dérivable sur $\mathbb{R}$ car $w$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

Par produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, $\ell$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $\ell'=u'v+uv'$.

$\star$ Pour tout réel $x$, $u'(x)=2x$

$\star$ $v'=w'\times \e^w$

Pour tout réel $x$, $w'(x)=-2x$, donc $v'(x)=-2x\e^{-x^2}$

On en déduit :

Pour tout réel $x$, $\ell'(x)=2x\e^{-x^2}+\left(x^2-9\right)\times \left(-2x\e^{-x^2}\right)$

$\ell'(x)=2x\e^{-x^2}-2x\left(x^2-9\right)\e^{-x^2}$

Pour obtenir une expression dont on sait étudier le signe, factorisons l'expression obtenue.

Pour tout réel $x$, $\ell'(x)=2x\e^{-x^2}\left[1-\left(x^2-9\right)\right]$

$\ell'(x)=2x\e^{-x^2}\left(1-x^2+9\right)$

$\ell'(x)=2x\e^{-x^2}\left(-x^2+10\right)$

C'est une expression dont ont sait étudier le signe à l'aide d'un tableau de signes.

$m(x)=(3x-2)\sqrt{x^2-9}$

$m=uv$ avec $u(x)=3x-2$ et $v(x)=\sqrt{x^2-9}$

$\star$ Comme fonction affine, $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $u'(x)=3$

$\star$ $v=\sqrt{w}$ avec $w(x)=x^2-9$

$w$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement positive sur $]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$

$v$ est donc dérivable sur tout intervalle inclus dans $]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$ et $v'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ avec $w'(x)=2x$

Ainsi, pour tout $x\in ]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$, $v'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$

On en déduit :

Par produit, $m$ est dérivable sur tout intervalle inclus dans $]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$ et $m'=u'v+uv'$.

Pour tout réel $x\in ]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$, $m'(x)=3\times \sqrt{x^2-9}+(3x-2)\times \dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$

$m'(x)=\dfrac{3\left(\sqrt{x^2-9}\right)^2}{\sqrt{x^2-9}}+\dfrac{x(3x-2)}{\sqrt{x^2-9}}$

$m'(x)=\dfrac{3\left(x^2-9\right)+x(3x-2)}{\sqrt{x^2-9}}$

$m'(x)=\dfrac{3x^2-27+3x^2-2x}{\sqrt{x^2-9}}$

$m'(x)=\dfrac{6x^2-2x-27}{\sqrt{x^2-9}}$

C'est une expression dont ont sait étudier le signe à l'aide d'un tableau de signes.

$k(x)=\dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-9}}$

$k=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=3x-2$ et $v(x)=\sqrt{x^2-9}$

$\star$ Comme fonction affine, $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $u'(x)=3$

$\star$ $v=\sqrt{w}$ avec $w(x)=x^2-9$

$w$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement positive sur $]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$

$v$ est donc dérivable sur tout intervalle inclus dans $]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$ et $v'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ avec $w'(x)=2x$

Ainsi, pour tout $x\in ]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$, $v'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$

On en déduit :

Par quotient, $k$ est dérivable sur tout intervalle inclus dans $]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$ et $k'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Pour tout réel $x\in ]-\infty; -3[\cup ]3;+\infty[$, $k'(x)=\dfrac{3\times \sqrt{x^2-9}-(3x-2)\times \dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}}{\left(\sqrt{x^2-9}\right)^2}$

$k'(x)=\dfrac{\dfrac{3\left(\sqrt{x^2-9}\right)^2}{\sqrt{x^2-9}}-\dfrac{x(3x-2)}{\sqrt{x^2-9}}}{x^2-9}$

$k'(x)=\dfrac{\dfrac{3\left(x^2-9\right)-x(3x-2)}{\sqrt{x^2-9}}}{x^2-9}$

$k'(x)=\dfrac{3x^2-27-3x^2+2x}{\left(x^2-9\right)\sqrt{x^2-9}}$

$k'(x)=\dfrac{2x-27}{\left(x^2-9\right)\sqrt{x^2-9}}$

C'est une expression dont ont sait étudier le signe à l'aide d'un tableau de signes.