"Regrouper" au maximum les expressions suivantes :
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$A=\e^x\times \e^{x^2}$
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$B=\e^x+\e^x$
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$C=\dfrac{\e^{2x-1}}{\e^{7-x}}$
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$D=\left(\dfrac{\e^{3x}}{\e^{2x}}\right)^2$
On utilisera les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
Rappel :
Ce sont les mêmes que les formules des puissances.
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$A=\e^x\times \e^{x^2}$
$A=\e^{x+x^2}$
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$B=\e^x+\e^x$
Non, $B\neq \e^{x+x}$ !
$B=2\e^x$
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$C=\dfrac{\e^{2x-1}}{\e^{7-x}}$
$C=\e^{2x-1-(7-x)}$
$C=\e^{2x-1-7+x}$
$C=\e^{3x-8}$
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$D=\left(\dfrac{\e^{3x}}{\e^{2x}}\right)^2$
$D=\left(\e^{3x-2x}\right)^2$
$D=\left(\e^{x}\right)^2$
$D=\e^{x\times 2}$
$D=\e^{2x}$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
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$\e^{2x}=\e^x$
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$\e^{x^2-1}=1$
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$\e^{2x}+\e^x-2=0$
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La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
On en déduit :
Si $a$ et $b$ sont des réels, alors : $\e^a=\e^b\Leftrightarrow a=b$.
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La fonction exponentielle vérifie $\exp(0)=1$.
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Une petite équation du second degré s'y cache...
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Soit un réel $x$.
$\e^{2x}=\e^x\Leftrightarrow 2x=x$
$\e^{2x}=\e^x\Leftrightarrow x=0$
L'ensemble des solutions de cette équation est : $\{0\}$.
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Soit un réel $x$.
$\e^{x^2-1}=1\Leftrightarrow \e^{x^2-1}=\e^0$
$\e^{x^2-1}=1\Leftrightarrow x^2-1=0$
$\e^{x^2-1}=1\Leftrightarrow x^2=1$
$\e^{x^2-1}=1\Leftrightarrow x=1$ ou $x=-1$
L'ensemble des solutions de cette équation est : $\{-1; 1\}$.
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Soit un réel $x$.
$\e^{2x}+\e^x-2=0\Leftrightarrow \begin{cases}X=\e^x\\X^2+X-2=0\end{cases}$
Résolvons l'équation $(E) : X^2+X-2=0$.
C'est une équation du second de degré de discriminant $\Delta=1^2-4\times 1\times (-2)=9$.
$\Delta>0$ donc l'équation $(E)$ admet de deux solutions réelles distinctes :
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1}=\dfrac{-1-3}{2}=-2$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1}=\dfrac{-1+3}{2}=1$
Ainsi on obtient :
$\e^{2x}+\e^x-2=0\Leftrightarrow \begin{cases}X=\e^x\\X=-2\text{ ou }X=1\end{cases}$
$\e^{2x}+\e^x-2=0\Leftrightarrow \e^x=-2$ ou $\e^x=1$
Or $\e^x>0$ pour tout réel $x$, donc l'équation $\e^x=-2$ n'a pas de solution réelle.
Ainsi :
$\e^{2x}+\e^x-2=0\Leftrightarrow \e^x=1$
$\e^{2x}+\e^x-2=0\Leftrightarrow x=0$
L'ensemble des solutions de cette équation est : $\{0\}$.
Montrer que pour tout réel $x$ :
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\e^x-1}{\e^x+1}$
On peut utiliser le fait que pour tout réel $x$, $\e^{-x}=\dfrac{1}{\e^x}$.
On peut également mutliplier numérateur et dénominateur par un nombre bien choisi.
Première méthode
Soit un réel $x$.
$\e^{-x}=\dfrac{1}{\e^x}$
Donc $\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{1-\dfrac{1}{\e^x}}{1+\dfrac{1}{\e^x}}$
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\dfrac{\e^x}{\e^x}-\dfrac{1}{\e^x}}{\dfrac{\e^x}{\e^x}+\dfrac{1}{\e^x}}$
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\dfrac{\e^x-1}{\e^x}}{\dfrac{\e^x+1}{\e^x}}$
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\e^x-1}{\e^x}\times \dfrac{\e^x}{\e^x+1}$
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\e^x-1}{\e^x+1}$
Deuxième méthode
Soit un réel $x$.
En mutlipliant numérateur et dénominateur par $\e^x$ (qui est bien non nul), on obtient :
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\e^x\times\left(1-\e^{-x}\right)}{\e^x\times\left(1+\e^{-x}\right)}$
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\e^x-\e^x\times\e^{-x}}{\e^x+\e^x\times\e^{-x}}$
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\e^x-\e^{x+(-x)}}{\e^x+\e^{x+(-x)}}$
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\e^x-\e^{0}}{\e^x+\e^{0}}$
$\dfrac{1-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}=\dfrac{\e^x-1}{\e^x+1}$