Calcul littéral

Exercice 1 (2nde, 1ère, Terminale)

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

  1. $A=3x(5x-2)+(1-x)^2$
  2. $B=7-5x(2x+7)$
  3. $C=(3-4x)^2-(7-5x)^2$

Les formules de développement sont les suivantes :

$k(a-b)=ka-kb$

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

  1. Pour tout réel $x$,

    $A=3x(5x-2)+(1-x)^2$

    $A=3x\times 5x+3x\times (-2)+1^2-2\times 1\times x+x^2$

    $A=15x^2-6x+1-2x+x^2$

    $A=16x^2-8x+1$

  2. Pour tout réel $x$,

    $B=7-5x(2x+7)$

    $B=7-5x\times 2x-5x\times 7$

    $B=7-10x^2-35x$

    $B=-10x^2-35x+7$

  3. Pour tout réel $x$,

    $C=(3-4x)^2-(7-5x)^2$

    $C=3^2-2\times 3\times 4x+(4x)^2-\left(7^2-2\times 7\times 5x+(5x)^2\right)$

    $C=9-24x+16x^2-\left(49-70x+25x^2\right)$

    $C=9-24x+16x^2-49+70x-25x^2$

    $C=-9x^2+46x-40$

Exercice 2 (2nde, 1ère, Terminale)

Factoriser les expressions suivantes au maximum :

  1. $A=3x(x+1)+3x$
  2. $B=(5-x)^2-x(5-x)$
  3. $C=(3-4x)^2-(7-5x)^2$
  4. $D=x^2-2x-(5x+1)(x-2)$
  5. $E=x^2-x-30$
  6. $F=3x^3+3x^2-6x$

Les formules de factorisation sont les suivantes :

$ka+kb=k(a+b)$ et $ka-kb=k(a-b)$

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Vous avez également vu en $1^{\text{ère}}$ la factorisation des polynômes du second degré.

Rappel :

Si $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ admet pour racines $x_1$ et $x_2$, alors $P(x)$ se factorise sous la forme :

$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

  1. Pour tout réel $x$,

    $A=3x(x+1)+3x$

    $A=3x\times (x+1)+3x\times 1$

    $A=3x\times\left[(x+1)+1\right]$

    $A=3x(x+1+1)$

    $A=3x(x+2)$

  2. Pour tout réel $x$,

    $B=(5-x)^2-x(5-x)$

    $B=(5-x)(5-x)-x(5-x)$

    $B=(5-x)\let[(5-x)-x\right]$

    $B=(5-x)(5-x-x)$

    $B=(5-x)(5-2x)$

  3. Pour tout réel $x$,

    $C=(3-4x)^2-(7-5x)^2$

    $C=\left[(3-4x)+(7-5x)\right]\times \left[(3-4x)-(7-5x)\right]$

    $C=(3-4x+7-5x)(3-4x-7+5x)$

    $C=(-9x+10)(x-4)$

  4. Pour tout réel $x$,

    $D=x^2-2x-(5x+1)(x-2)$

    $D=x\times x-x\times 2-(5x+1)(x-2)$

    $D=x(x-2)-(5x+1)(x-2)$

    $D=(x-2)\left[x-(5x+1)\right]$

    $D=(x-2)(x-5x-1)$

    $D=(x-2)(-4x-1)$

  5. Pour tout réel $x$,

    $E=x^2-x-30$

    L'expression E est un polynôme du second degré.

    Son discriminant est $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times (-30)$

    $\Delta=1+120=121$

    $\Delta>0$ donc l'expression E admet deux racines réelles distinctes :

    $x_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt{121}}{2\times 1} =\dfrac{1-11}{2}=-5$

    et $x_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt{121}}{2\times 1} =\dfrac{1+11}{2}=6$

    On en déduit la factorisation suivante de E :

    $E=(x-(-5))(x-6)$

    $E=(x+5)(x-6)$

  6. Pour tout réel $x$,

    $F=3x^3+3x^2-6x$

    $F=3x\left(x^2+x-2\right)$

    Notons $P(x)$ le polynôme $x^2+x-2$.

    C'est un polynôme du second degré.

    Son discriminant est $\Delta=1^2-4\times 1\times (-2)$

    $\Delta=1+8=9$

    $\Delta>0$ donc l'expression $P(x)$ admet deux racines réelles distinctes :

    $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1}=\dfrac{-1-3}{2}=-2$

    et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1}=\dfrac{-1+3}{2}=1$

    On en déduit la factorisation suivante de $P(x)$ :

    $P(x)=(x-(-2))(x-1)$

    $P(x)=(x+2)(x-1)$

    Par conséquent, $F=3x(x+2)(x-1)$