Exercice 1 (Terminale)
Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$.
- $f(x)=3x^8+5x^5-\dfrac{1}{3}x^3$, $I=\mathbb{R}$.
- $g(x)=\dfrac{x}{3}\left(x^2-5\right)^{31}$, $I=\mathbb{R}$.
- $h(x)=\dfrac{10+10x^4}{\left(5x+x^5\right)^4}$, $I=]0;+\infty[$.
- $k(x)=\dfrac{10+10x^4}{5x+x^5}$, $I=]0;+\infty[$.
- $\ell(x)=x\text{e}^{5x^2-1}$, $I=\mathbb{R}$
- $m(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$, $I=]3;+\infty[$
Apprenez à reconnaître la bonne formule.
- $f$ est une fonction polynôme.
- $g$ ressemble à $u'\times u^n$.
- $h$ ressemble à $\dfrac{u'}{u^n}$ avec $n\in\mathbb{N}, n\geq 2$ ou $u'\times u^n$ avec $n\in\mathbb{Z}, n\leq -2$.
- $k$ ressemble à $\dfrac{u'}{u}$.
- $\ell$ ressemble $u'\text{e}^u$
- $m$ ressemble $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$
- $f(x)=3x^8+5x^5-\dfrac{1}{3}x^3$, $I=\mathbb{R}$.
$f$ est une fonction polynôme.
Une primitive de $f$ sur $I$ est :
$F:x\mapsto 3\times \dfrac{1}{9}x^9+5\times \dfrac{1}{6}x^6-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}x^4$,
soit $F:x\mapsto \dfrac{1}{3}x^9+\dfrac{5}{6}x^6-\dfrac{1}{12}x^4$.
- $g(x)=\dfrac{x}{3}\left(x^2-5\right)^{31}$, $I=\mathbb{R}$.
$g$ ressemble à $u'\times u^n$ avec $u(x)=x^2-5$ et $n=31$.
La fonction $u$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$,
$u'(x)=2x$.
Ainsi, pour tout $x\in I$, $u'(x)\times u(x)^n=2x\left(x^2-5\right)^{31}$.
Par conséquent, $g=\dfrac{1}{6}u'u^n$.
Une primitive de $g$ sur $I$ est donc :
$G:x\mapsto \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$,
soit $G:x\mapsto \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{32}\left(x^2-5\right)^{32}$,
c'est-à-dire $G:x\mapsto \dfrac{1}{192}\left(x^2-5\right)^{32}$.
- $h(x)=\dfrac{10+10x^4}{\left(5x+x^5\right)^4}$, $I=]0;+\infty[$.
$h$ ressemble à $\dfrac{u'}{u^n}$ avec $n\in\mathbb{N}, n\geq 2$ ou $u'\times u^n$ avec $n\in\mathbb{Z}, n\leq -2$.Première méthode
$h$ ressemble à $\dfrac{u'}{u^n}$ avec $n=4$ et $u(x)=5x+x^5$.
La fonction $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$.
Pour tout $x\in I$, $u'(x)=5+5x^4$,
donc $\dfrac{u'(x)}{u(x)^n}=\dfrac{5+5x^4}{\left(5x+x^5\right)^4}$.
Ainsi $h=2\times \dfrac{u'}{u^n}$.
Une primitive de $h$ sur $I$ est donc $H=2\times\dfrac{-1}{(n-1)u^{n-1}}$,
soit $H:x\mapsto \dfrac{-2}{3\left(5x+x^5\right)^3}$.
Deuxième méthode
Pour tout $x\in I$, $h(x)=\left(10+10x^4\right)\left(5x+x^5\right)^{-4}$.
$h$ ressemble à $u'u^n$ avec $n=-4$ et $u(x)=5x+x^5$.
La fonction $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$.
Pour tout $x\in I$, $u'(x)=5+5x^4$,
donc $u'(x)u(x)^n=\left(5+5x^4\right)\left(5x+x^5\right)^{-4}$.
Ainsi $h=2\times u'u^n$.
Une primitive de $h$ sur $I$ est donc $H=2\times\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$,
soit $H:x\mapsto \dfrac{2}{-3}\left(5x+x^5\right)^{-3}$.
On retrouve bien $H:x\mapsto \dfrac{-2}{3\left(5x+x^5\right)^3}$.
- $k(x)=\dfrac{10+10x^4}{5x+x^5}$, $I=]0;+\infty[$.
$k$ ressemble à $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=5x+x^5$.
La fonction est dérivable et strictement positive sur $I$,
et pour tout $x\in I$, $u'(x)=5+5x^4$,
donc $\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{5+5x^4}{5x+x^5}$.
Ainsi $k=2\times \dfrac{u'}{u}$.
Comme $u$ est strictement positive sur $I$, une primitive de $k$ sur $I$ est :
$K=2\times \ln(u)$, soit $K:x\mapsto 2\ln\left(5x+x^5\right)$.
- $\ell(x)=x\text{e}^{5x^2-1}$, $I=\mathbb{R}$.
$\ell$ ressemble $u'\text{e}^u$ avec $u(x)=5x^2-1$.
La fonction $u$ est dérivable sur $I$,
et pour tout $x\in I$, $u'(x)=10x$.
Ainsi, pour tout $x\in I$, $u'(x)\text{e}^{u(x)}=10x\text{e}^{5x^2-1}$,
donc $\ell=\dfrac{1}{10}u'\text{e}^{u}$.
Une primitive de $\ell$ sur $I$ est donc :
$L = \dfrac{1}{10}\text{e}^{u}$,
soit $L:x\mapsto \dfrac{1}{10}\text{e}^{5x^2-1}$.
- $m(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$, $I=]3;+\infty[$.
$m$ ressemble $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ avec $u(x)=x^2-9$.
La fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$
et pour tout $x\in I$, $u'(x)=2x$,
donc $\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-9}}$.
Aini $m=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'}{\sqrt{u}}$.
Une primitive de $m$ sur $I$ est donc :
$M = \dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{u}$,
soit $M:x\mapsto \sqrt{x^2-9}$.
Exercice 2 (Terminale)
Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$.
On reprend les mêmes fonctions qu'à l'exercice 1 pour voir ce que cela change.
- $f(x)=3x^8+5x^5-\dfrac{1}{3}x^3$, $I=\mathbb{R}$.
- $g(x)=\dfrac{x}{3}\left(x^2-5\right)^{31}$, $I=\mathbb{R}$.
- $h(x)=\dfrac{10+10x^4}{\left(5x+x^5\right)^4}$, $I=]0;+\infty[$.
- $k(x)=\dfrac{10+10x^4}{5x+x^5}$, $I=]0;+\infty[$.
- $\ell(x)=x\text{e}^{5x^2-1}$, $I=\mathbb{R}$
- $m(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$, $I=]3;+\infty[$
Apprenez à reconnaître la bonne formule.
- $f$ est une fonction polynôme.
- $g$ ressemble à $u'\times u^n$.
- $h$ ressemble à $\dfrac{u'}{u^n}$ avec $n\in\mathbb{N}, n\geq 2$ ou $u'\times u^n$ avec $n\in\mathbb{Z}, n\leq -2$.
- $k$ ressemble à $\dfrac{u'}{u}$.
- $\ell$ ressemble $u'\text{e}^u$
- $m$ ressemble $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$
- $f(x)=3x^8+5x^5-\dfrac{1}{3}x^3$, $I=\mathbb{R}$.
$f$ est une fonction polynôme.
Une primitive de $f$ sur $I$ est :
$F:x\mapsto 3\times \dfrac{1}{9}x^9+5\times \dfrac{1}{6}x^6-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}x^4$,
soit $F:x\mapsto \dfrac{1}{3}x^9+\dfrac{5}{6}x^6-\dfrac{1}{12}x^4$.
Les primitives de $f$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \dfrac{1}{3}x^9+\dfrac{5}{6}x^6-\dfrac{1}{12}x^4+k$ où $k$ est un réel quelconque.
- $g(x)=\dfrac{x}{3}\left(x^2-5\right)^{31}$, $I=\mathbb{R}$.
$g$ ressemble à $u'\times u^n$ avec $u(x)=x^2-5$ et $n=31$.
La fonction $u$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$,
$u'(x)=2x$.
Ainsi, pour tout $x\in I$, $u'(x)\times u(x)^n=2x\left(x^2-5\right)^{31}$.
Par conséquent, $g=\dfrac{1}{6}u'u^n$.
Une primitive de $g$ sur $I$ est donc :
$G:x\mapsto \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$,
soit $G:x\mapsto \dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{32}\left(x^2-5\right)^{32}$,
c'est-à-dire $G:x\mapsto \dfrac{1}{192}\left(x^2-5\right)^{32}$.
Les primitives de $g$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \dfrac{1}{192}\left(x^2-5\right)^{32}+k$ où $k$ est un réel quelconque.
- $h(x)=\dfrac{10+10x^4}{\left(5x+x^5\right)^4}$, $I=]0;+\infty[$.
$h$ ressemble à $\dfrac{u'}{u^n}$ avec $n\in\mathbb{N}, n\geq 2$ ou $u'\times u^n$ avec $n\in\mathbb{Z}, n\leq -2$.Première méthode
$h$ ressemble à $\dfrac{u'}{u^n}$ avec $n=4$ et $u(x)=5x+x^5$.
La fonction $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$.
Pour tout $x\in I$, $u'(x)=5+5x^4$,
donc $\dfrac{u'(x)}{u(x)^n}=\dfrac{5+5x^4}{\left(5x+x^5\right)^4}$.
Ainsi $h=2\times \dfrac{u'}{u^n}$.
Une primitive de $h$ sur $I$ est donc $H=2\times\dfrac{-1}{(n-1)u^{n-1}}$,
soit $H:x\mapsto \dfrac{-2}{3\left(5x+x^5\right)^3}$.
Les primitives de $h$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \dfrac{-2}{3\left(5x+x^5\right)^3}+k$ où $k$ est un réel quelconque.
Deuxième méthode
Pour tout $x\in I$, $h(x)=\left(10+10x^4\right)\left(5x+x^5\right)^{-4}$.
$h$ ressemble à $u'u^n$ avec $n=-4$ et $u(x)=5x+x^5$.
La fonction $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$.
Pour tout $x\in I$, $u'(x)=5+5x^4$,
donc $u'(x)u(x)^n=\left(5+5x^4\right)\left(5x+x^5\right)^{-4}$.
Ainsi $h=2\times u'u^n$.
Une primitive de $h$ sur $I$ est donc $H=2\times\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$,
soit $H:x\mapsto \dfrac{2}{-3}\left(5x+x^5\right)^{-3}$.
On retrouve bien $H:x\mapsto \dfrac{-2}{3\left(5x+x^5\right)^3}$.
Les primitives de $h$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \dfrac{-2}{3\left(5x+x^5\right)^3}+k$ où $k$ est un réel quelconque.
- $k(x)=\dfrac{10+10x^4}{5x+x^5}$, $I=]0;+\infty[$.
$k$ ressemble à $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=5x+x^5$.
La fonction est dérivable et strictement positive sur $I$,
et pour tout $x\in I$, $u'(x)=5+5x^4$,
donc $\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{5+5x^4}{5x+x^5}$.
Ainsi $k=2\times \dfrac{u'}{u}$.
Comme $u$ est strictement positive sur $I$, une primitive de $k$ sur $I$ est :
$K=2\times \ln(u)$, soit $K:x\mapsto \ln\left(5x+x^5\right)$.
Les primitives de $k$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \dfrac{-2}{3\left(5x+x^5\right)^3}+C$ où $C$ est un réel quelconque.
- $\ell(x)=x\text{e}^{5x^2-1}$, $I=\mathbb{R}$.
$\ell$ ressemble $u'\text{e}^u$ avec $u(x)=5x^2-1$.
La fonction $u$ est dérivable sur $I$,
et pour tout $x\in I$, $u'(x)=10x$.
Ainsi, pour tout $x\in I$, $u'(x)\text{e}^{u(x)}=10x\text{e}^{5x^2-1}$,
donc $\ell=\dfrac{1}{10}u'\text{e}^{u}$.
Une primitive de $\ell$ sur $I$ est donc :
$L = \dfrac{1}{10}\text{e}^{u}$,
soit $L:x\mapsto \dfrac{1}{10}\text{e}^{5x^2-1}$.
Les primitives de $\ell$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \dfrac{1}{10}\text{e}^{5x^2-1}+k$ où $k$ est un réel quelconque.
- $m(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$, $I=]3;+\infty[$.
$m$ ressemble $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ avec $u(x)=x^2-9$.
La fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$
et pour tout $x\in I$, $u'(x)=2x$,
donc $\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-9}}$.
Aini $m=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'}{\sqrt{u}}$.
Une primitive de $m$ sur $I$ est donc :
$M = \dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{u}$,
soit $M:x\mapsto \sqrt{x^2-9}$.
Les primitives de $m$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \sqrt{x^2-9}+k$ où $k$ est un réel quelconque.
Exercice 3 (Terminale)
- Soit $\ell$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\ell(x)=x\text{e}^{5x^2-1}$.
Déterminer la primitive $L$ de $\ell$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en 5. - Soit $\ell$ la fonction définie sur $I=]3;+\infty[$ par $m(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$.
Déterminer la primitive $M$ de $m$ sur $I$ telle que $M(10)=1$.
Apprenez à reconnaître la bonne formule.
- $\ell$ ressemble $u'\text{e}^u$
- $m$ ressemble $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$
- $\ell(x)=x\text{e}^{5x^2-1}$, $I=\mathbb{R}$.
$\ell$ ressemble $u'\text{e}^u$ avec $u(x)=5x^2-1$.
La fonction $u$ est dérivable sur $I$,
et pour tout $x\in I$, $u'(x)=10x$.
Ainsi, pour tout $x\in I$, $u'(x)\text{e}^{u(x)}=10x\text{e}^{5x^2-1}$,
donc $\ell=\dfrac{1}{10}u'\text{e}^{u}$.
Une primitive de $\ell$ sur $I$ est donc :
$\dfrac{1}{10}\text{e}^{u}$,
soit $x\mapsto \dfrac{1}{10}\text{e}^{5x^2-1}$.
Les primitives de $\ell$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \dfrac{1}{10}\text{e}^{5x^2-1}+k$ où $k$ est un réel quelconque.
Notons $L$ la primite de $\ell$ sur $I$ qui s'annule en 5.
On sait qu'il existe un réel $k$ tel que :
$L(x)=\dfrac{1}{10}\text{e}^{5x^2-1}+k$ pour tout $x\in I$.
Ainsi $L(5)=\dfrac{1}{10}\text{e}^{124}+k$.
Donc $L(5)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{10}\text{e}^{124}+k=0\Leftrightarrow k=-\dfrac{1}{10}\text{e}^{124}$
La fonction $L$ cherchée est donc :
$L:x\mapsto \dfrac{1}{10}\text{e}^{5x^2-1}-\dfrac{1}{10}\text{e}^{124}$.
- $m(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}$, $I=]3;+\infty[$.
$m$ ressemble $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ avec $u(x)=x^2-9$.
La fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$
et pour tout $x\in I$, $u'(x)=2x$,
donc $\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2-9}}$.
Aini $m=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'}{\sqrt{u}}$.
Une primitive de $m$ sur $I$ est donc :
$\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{u}$,
soit $:x\mapsto \sqrt{x^2-9}$.
Les primitives de $m$ sur $I$ sont donc les fonctions du type :
$x\mapsto \sqrt{x^2-9}+k$ où $k$ est un réel quelconque.
Notons $M$ la primite de $m$ sur $I$ telle que $M(10)=1$.
On sait qu'il existe un réel $k$ tel que :
$M(x)=\sqrt{x^2-9}+k$ pour tout $x\in I$.
Ainsi $M(10)=\sqrt{91}+k$.
Donc $M(10)=1\Leftrightarrow \sqrt{91}+k=1\Leftrightarrow k=1-\sqrt{91}$
La fonction $M$ cherchée est donc :
$M:x\mapsto \sqrt{x^2-9}+1-\sqrt{91}$.