Calculs avec des puissances

Exercice 1 (2nde, 1ère, Terminale)
Écrire sous la forme $a^n$ avec $a\in\mathbb{N}$ et $n\in\mathbb{Z}$.
  1. $A=2^7\times 2^3\times 2^{-5}$

  2. $B=\dfrac{3^5\times 3^2}{3^8}$

  3. $C=\dfrac{\left(3^5\right)^3}{3^8}$

  4. $D=\dfrac{10^5\times 5^3}{2^5}$
  1. $a^n\times a^m=a^{n+m}$
  2. $a^n\times a^m=a^{n+m}$ et $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
  3. $\left(a^n\right)^m=a^{nm}$ et $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
  4. $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$
  1. $A=2^7\times 2^3\times 2^{-5}$

    $A=2^{7+3+(-5)}$

    $A=2^5$

  2. $B=\dfrac{3^5\times 3^2}{3^8}$

    $B=\dfrac{3^{5+2}}{3^8}$

    $B=\dfrac{3^7}{3^8}$

    $B=3^{7-8}$

    $B=3^{-1}$

  3. $C=\dfrac{\left(3^5\right)^3}{3^8}$

    $C=\dfrac{3^{5\times 3}}{3^8}$

    $C=\dfrac{3^{15}}{3^8}$

    $C=3^{15-8}$

    $C=3^7$

  4. $D=\dfrac{10^5\times 5^3}{2^5}$

    $D=\dfrac{10^5}{2^5}\times 5^3$

    $D=\left(\dfrac{10}{2}\right)^5\times 5^3$

    $D=5^5\times 5^3$

    $D=5^{5+3}$

    $D=5^8$
Exercice 2 (2nde, 1ère, Terminale)
Déterminer l'écriture scientifique des nombres décimaux suivants.
  1. $A=7\,894\,523,12$

  2. $B=0,000\,012\,567\,83$

  3. $C=782,6\times 10^{15}\times 0,000\,524\times 10^{-3}$

  4. $D=\dfrac{1\,245,632\,5\times 10^8}{25\times 10^7}$

Revoyez bien la définition de l'écriture scientifique d'un nombre décimal avant de commencer.
L'écriture scientifique d'un nombre décimal est l'unique écriture de la forme $a\times 10^n$ avec $1\leq a<10$ et $n\in\mathbb{Z}$.
Utilisez les règles de calcul sur les puissances (à revoir si nécessaire avec l'exercice précédent) pour simplifier les "grosses" expressions.

  1. $A=7\,894\,523,12$

    $A=7,894\,523\,12\times 10^6$

  2. $B=0,000\,012\,567\,83$

    $B=1,256\,783\times 10^{-5}$

  3. $C=782,6\times 10^{15}\times 0,000\,524\times 10^{-3}$

    On peut commencer par remplacer les nombres décimaux $782,6$ et $0,000\,524$ par leurs écritures scientifiques

    $C=7,826\times 10^2\times 10^{15}\times 5,24\times 10^{-4}\times 10^{-3}$

    $C=7,826\times 5,24\times 10^{2+15+(-4)+(-3)}$

    $C=41,008\,24\times 10^{10}$

    $C=4,100\,824\times 10^1\times 10^{10}$

    $C=4,100\,824\times 10^{1+10}$

    $C=4,100\,824\times 10^{11}$

  4. $D=\dfrac{1\,245,632\,5\times 10^8}{25\times 10^7}$

    $D=\dfrac{1,245\,632\,5\times 10^3\times 10^8}{2,5\times 10^1\times 10^7}$

    $D=\dfrac{1,245\,632\,5}{2,5}\times \dfrac{10^3\times 10^8}{10^1\times 10^7}$

    $D=0,582\,53\times \dfrac{10^{11}}{10^{8}}$

    $D=5,825\,3\times 10^{-1}\times 10^3$

    $D=5,825\,3\times 10^2$