Calculs avec des quotients

Exercice 1 (2nde, 1ère, Terminale)
Pour chaque question, déterminer la fraction irréductible égale à l'expression numérique donnée.
  1. $A=\dfrac{7}{5}-\dfrac{3}{2}$

  2. $B=2+\dfrac{1}{9}$

  3. $C=\dfrac{9}{5}-\dfrac{1}{5}\times \dfrac{3}{2}$

  4. $D=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}\div \dfrac{3}{2}$
  1. Mettre au même dénominateur
  2. Mettre au même dénominateur
  3. Respecter les priorités opératoires
  4. Respecter les priorités opératoires... et diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse.
  1. $A=\dfrac{7}{5}-\dfrac{3}{2}$

    $A=\dfrac{7\times 2}{5\times 2}-\dfrac{3\times 5}{2\times 5}$

    $A=\dfrac{14}{10}-\dfrac{15}{10}$

    $A=\dfrac{14-15}{10}$

    $A=\dfrac{-1}{10}$

  2. $B=2+\dfrac{1}{9}$

    $B=\dfrac{2}{1}+\dfrac{1}{9}$

    $B=\dfrac{2\times 9}{1\times 9}+\dfrac{1}{9}$

    $B=\dfrac{18}{9}+\dfrac{1}{9}$

    $B=\dfrac{18+1}{9}$

    $B=\dfrac{19}{9}$

  3. $C=\dfrac{9}{5}-\dfrac{1}{5}\times \dfrac{3}{2}$

    $C=\dfrac{9}{5}-\dfrac{1\times 3}{5\times 2}$

    $C=\dfrac{9}{5}-\dfrac{3}{10}$

    $C=\dfrac{9\times 2}{5\times 2}-\dfrac{3}{10}$

    $C=\dfrac{18}{10}-\dfrac{3}{10}$

    $C=\dfrac{18-3}{10}$

    $C=\dfrac{15}{10}$

    $C=\dfrac{15\div 5}{10\div 5}$

    $C=\dfrac{3}{2}$

  4. $D=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}\div \dfrac{3}{2}$

    $D=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}\times \dfrac{2}{3}$

    $D=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1\times 2}{5\times 3}$

    $D=\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{15}$

    $D=\dfrac{2\times 3}{5\times 3}-\dfrac{2}{15}$

    $D=\dfrac{6}{15}-\dfrac{2}{15}$

    $D=\dfrac{6-2}{15}$

    $D=\dfrac{4}{15}$
Exercice 2 (2nde, 1ère, Terminale)
Écrire sous la forme d'un seul quotient les expressions suivantes.
On "simplifera" au maximum l'expression obtenue, sans s'occuper de l'ensemble de définition de celle-ci.
  1. $A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$

  2. $B=\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{x}{x+1}$

  3. $C=x-1+\dfrac{1}{x+1}$

  4. $D=x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$


Mettre au même dénominateur... et éviter de sortir les baguettes magiques pour "simplifier" les expressions obtenues.
  1. $A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$

    $A=\dfrac{1\times (x+1)}{x\times (x+1)}+\dfrac{1\times x}{(x+1)\times x}$

    $A=\dfrac{x+1}{x(x+1)}+\dfrac{x}{x(x+1)}$

    $A=\dfrac{x+1+x}{x(x+1)}$

    $A=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$

  2. $B=\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{x}{x+1}$

    $B=\dfrac{(x+1)\times (x+1)}{x\times (x+1)}-\dfrac{x\times x}{(x+1)\times x}$

    $B=\dfrac{(x+1)^2}{x(x+1)}-\dfrac{x^2}{x(x+1)}$

    $B=\dfrac{(x+1)^2-x^2}{x(x+1)}$

    $B=\dfrac{x^2+2x+1-x^2}{x(x+1)}$

    $B=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$


  3. $C=x-1+\dfrac{1}{x+1}$

    $C=\dfrac{x-1}{1}+\dfrac{1}{x+1}$

    $C=\dfrac{(x-1)\times (x+1)}{1\times (x+1)}+\dfrac{1}{x+1}$

    $C=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}$

    $C=\dfrac{(x-1)(x+1)+1}{x+1}$

    $C=\dfrac{x^2-1+1}{x+1}$

    $C=\dfrac{x^2}{x+1}$

  4. $D=x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$

    $D=\dfrac{x}{1}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$

    $D=\dfrac{x\times x^2}{1\times x^2}+\dfrac{1\times x}{x\times x}+\dfrac{1}{x^2}$

    $D=\dfrac{x^3}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}$

    $D=\dfrac{x^3+x+1}{x^2}$