Calculs avec des racines carrées

Exercice 1 (2nde, 1ère, Terminale)
Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a\in\mathbb{Q}$ et $b\in\mathbb{Q}$ sous forme de fractions irréductibles.
  1. $\sqrt{72}$

  2. $\sqrt{\dfrac{12}{49}}$

  3. $\sqrt{\dfrac{5}{36}}+2\sqrt{\dfrac{20}{9}}$

  4. $\sqrt{\dfrac{14}{3}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}}$

  5. $\sqrt{50}+\sqrt{32}-\sqrt{18}$
  • Si $a$ et $b$ sont des réels positifs, on a : $\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}\sqrt{b}=a\sqrt{b}$et $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$
  • Si de plus $b\neq 0$, alors $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
  1. $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36}\times \sqrt{2}=6\sqrt{2}$

  2. $\sqrt{\dfrac{12}{49}} =\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{49}} =\dfrac{\sqrt{4\times 3}}{7} =\dfrac{\sqrt{4}\times \sqrt{3}}{7} =\dfrac{2}{7}\sqrt{3}$

  3. $\sqrt{\dfrac{5}{36}}+2\sqrt{\dfrac{20}{9}} =\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}+2\times \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{9}} =\dfrac{\sqrt{5}}{6}+2\times \dfrac{2\sqrt{5}}{3} =\dfrac{\sqrt{5}}{6}+\dfrac{4\sqrt{5}}{3} =\dfrac{\sqrt{5}}{6}+\dfrac{8\sqrt{5}}{6} =\dfrac{9\sqrt{5}}{6} =\dfrac{9}{6}\sqrt{5} =\dfrac{3}{2}\sqrt{5}$

  4. $\sqrt{\dfrac{14}{3}}\times \sqrt{\dfrac{3}{8}} =\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} =\dfrac{\sqrt{14}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{8}} =\dfrac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} =\dfrac{\sqrt{7}}{2} =\dfrac{1}{2}\sqrt{7}$

  5. $\sqrt{50}+\sqrt{32}-\sqrt{18} =\sqrt{25\times 2}+\sqrt{16\times 2}-\sqrt{9\times 2} =5\sqrt{2}+4\sqrt{2}-3\sqrt{2} =6\sqrt{2}$
Exercice 2 (2nde, 1ère, Terminale)
Écrire les nombres suivants sans racines carrées au dénominateur :
  1. $\dfrac{3}{2\sqrt{7}}$

  2. $\dfrac{1}{1+\sqrt{7}}$

  3. $\dfrac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}$

  4. $\dfrac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2}$
  • Lorsqu'un nombre est du type $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$, en multipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt{b}$, on obtient ce qui est demandé.
  • Lorsqu'un nombre est du type $\dfrac{c}{a+\sqrt{b}}$, en multipliant numérateur et dénominateur par $a-\sqrt{b}$, on obtient ce qui est demandé.
  • Lorsqu'un nombre est du type $\dfrac{c}{a-\sqrt{b}}$, en multipliant numérateur et dénominateur par $a+\sqrt{b}$, on obtient ce qui est demandé.
  1. $\dfrac{3}{2\sqrt{7}} =\dfrac{3\times \sqrt{7}}{2\sqrt{7}\times \sqrt{7}} =\dfrac{3\sqrt{7}}{2\times 7} =\dfrac{3\sqrt{7}}{14}$

  2. $\dfrac{1}{1+\sqrt{7}} =\dfrac{1\times \left(1-\sqrt{7}\right)}{\left(1+\sqrt{7}\right)\times \left(1-\sqrt{7}\right)} =\dfrac{1-\sqrt{7}}{1^2-\sqrt{7}^2} =\dfrac{1-\sqrt{7}}{1-7} =\dfrac{1-\sqrt{7}}{-6} =\dfrac{-1+\sqrt{7}}{6}$

  3. $\dfrac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}} =\dfrac{\sqrt{7}\times \left(2-\sqrt{7}\right)}{\left(2+\sqrt{7}\right)\times \left(2-\sqrt{7}\right)} =\dfrac{2\sqrt{7}-7}{2^2-\sqrt{7}^2} =\dfrac{2\sqrt{7}-7}{4-7} =\dfrac{2\sqrt{7}-7}{-3} =\dfrac{-2\sqrt{7}+7}{3}$

  4. $\dfrac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2} =\dfrac{\left(\sqrt{7}-2\right)\times \left(\sqrt{7}-2\right)}{\left(\sqrt{7}+2\right)\times \left(\sqrt{7}-2\right)} =\dfrac{\left(\sqrt{7}-2\right)^2}{\sqrt{7}^2-2^2} =\dfrac{\sqrt{7}^2-4\sqrt{7}+2^2}{7-4} =\dfrac{11-4\sqrt{7}}{3}$